서로소 집합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 일반화
3. 성질
4. 예
5. 관련 개념
6. 컴퓨터 과학 응용
참조

1. 개요

서로소 집합은 두 집합의 교집합이 공집합일 때의 관계를 의미하며, 집합론에서 중요한 개념이다. 집합 A와 B가 서로소일 조건은 A ∩ B = ∅이다. 집합족의 경우, 임의의 두 집합이 서로소이거나 같으면 서로소 집합족이라고 한다. 두 집합의 교집합이 특정 기수보다 작으면 거의 서로소 집합이라고 부르기도 한다. 서로소 집합은 분할, 분리합집합 등의 개념과 관련 있으며, 컴퓨터 과학에서 서로소 집합 데이터 구조 및 분할 세분화 등의 응용 분야가 있다. 위상수학에서는 폐포 또는 근방이 서로소인 경우를 포함하여 서로소보다 더 엄격한 분리 집합의 개념을 사용한다.

2. 정의

두 집합 $A,B$ 가 $A\cap B=\varnothing$ 을 만족시키면, '''서로소 집합'''이라고 한다.^[15] 집합족 $\mathcal A$ 가 임의의 $A,B\in\mathcal A$ 에 대하여 $A=B$ 이거나 $A\cap B=\varnothing$ 이면, '''서로소 집합족'''(disjoint family of sets^영어)이라고 한다.

기수 $\kappa$ 에 대하여, 두 집합 $A,B$ 가 $|A\cap B|<\kappa$ 를 만족시키면, ''' $\kappa$ -거의 서로소 집합'''( $\kappa$ -almost disjoint sets^영어)이라고 한다. 비슷하게 ''' $\kappa$ -거의 서로소 집합족'''( $\kappa$ -almost disjoint family of sets^영어)을 정의할 수 있다. 여기서 $\kappa=1$ 을 취하면 서로소 집합 및 서로소 집합족의 개념을 얻는다.

2. 1. 일반화

서로소 집합의 정의는 집합족 및 집합의 인덱스족으로 확장될 수 있다. 집합족

\mathcal{F}

가 '''쌍별 서로소'''라고 불릴 때 두 가지 정의가 가능하다. 첫 번째 정의에 따르면, 집합족의 각 두 집합이 동일하거나 서로소인 경우 서로소이다. 이 정의는 동일한 집합의 반복된 복사본을 허용한다. 두 번째 정의에 따르면, 집합족의 각 두 집합은 서로소여야 하며, 반복된 복사본은 허용되지 않는다.^[2] 예를 들어, 집합족 { {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, ... }는 두 정의 모두에 따라 서로소이다. 그러나 10개의 멤버를 가진 집합족

(\{n + 2k \mid k\in\mathbb{Z}\})_{n \in \{0, 1, \ldots, 9\}}

는 두 개의 서로소 집합 각각에 대해 다섯 번의 반복이 있으므로 첫 번째 정의에 따라 쌍별 서로소이지만 두 번째 정의에 따라 그렇지 않다.

두 집합의 교집합이 어떤 의미에서 작으면 준 서로소 집합이라고 한다. 예를 들어, 교집합이 유한 집합인 두 개의 무한 집합은 거의 서로소라고 할 수 있다.^[3]

3. 성질

모든 집합은 공집합과 서로소이다.^[16]
자기 자신과 서로소일 필요충분조건은 공집합이다.^[16]
서로소 집합족이 둘 이상의 집합으로 이루어졌다면, 그 교집합은 공집합이다.
공집합은 서로소 집합족이지만, 그 교모임은 모든 집합을 포함하는 고유 모임이다.^[17]
하나의 집합으로 이루어진 집합족은 서로소 집합족이지만, 그 교집합은 공집합이 아닐 수 있다.
교집합이 공집합인 집합족은 서로소 집합족이 아닐 수 있다.^[18] 예를 들어, 집합족 의 교집합은 공집합이지만, 이는 서로소 집합족이 아니다.

4. 예

5. 관련 개념

분할은 합집합이 전체 집합이 되는 서로소 집합들의 모임이다.^[20] 모든 분할은 하나의 동치 관계와 대응한다.^[20]

분리합집합은 서로소 집합들의 합집합이거나, 서로소가 아닌 경우 서로소가 되게끔 변형한 뒤 합집합을 취하는 것을 의미한다.^[23]^[24]

위상수학에서 서로 분리된 집합은 서로소보다 더 엄격한 조건을 가진다. 예를 들어, 서로소인 폐포를 가지거나 서로소인 근방을 가진 두 집합을 서로 분리된 집합이라고 할 수 있다.^[19]

거리공간에서 양수로 분리된 집합은 0이 아닌 거리로 분리된 두 집합을 뜻한다.^[19]

헬리 족은 교집합이 공집합인 최소 부분집합족은 모두 서로소인 집합족이다.^[27]

6. 컴퓨터 과학 응용

서로소 집합 자료 구조^[21]와 분할 세분화^[22]는 컴퓨터 과학에서 집합의 분할을 효율적으로 유지하기 위한 기술로, 각각 합집합 및 세분화 연산을 지원한다.

참조

_[1] 서적 Naive Set Theory https://books.google[...] Springer
_[2] 서적 A Transition to Advanced Mathematics https://books.google[...] Cengage Learning
_[3] 서적 Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing https://books.google[...] Springer
_[4] 서적 Metric Spaces https://books.google[...] Cambridge University Press
_[5] 서적 Bridge to Abstract Mathematics https://books.google[...] Mathematical Association of America
_[6] 웹사이트 Is the empty family of sets pairwise disjoint? https://math.stackex[...] 2024-10-10
_[7] 서적 Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors, and Combinatorial Probability https://books.google[...] Cambridge University Press
_[8] 간행물
_[9] 서적 Introduction to Algorithms MIT Press
_[10] 간행물 Three partition refinement algorithms
_[11] 서적 Discrete Mathematics: An Introduction to Proofs and Combinatorics https://books.google[...] Cengage Learning
_[12] 서적 A Basis for Theoretical Computer Science Springer-Verlag
_[13] 서적 Understanding Formal Methods https://books.google[...] Springer
_[14] 서적 Introduction to Topological Manifolds Springer
_[15] 서적 Naive Set Theory http://books.google.[...] Springer
_[16] 서적 Bridge to Abstract Mathematics http://books.google.[...] Mathematical Association of America
_[17] 문서 See answers to the question http://math.stackexc[...]
_[18] 서적 A Transition to Advanced Mathematics http://books.google.[...] Cengage Learning
_[19] 서적 Metric Spaces http://books.google.[...] Cambridge University Press
_[20] 간행물
_[21] 서적 Introduction to Algorithms MIT Press
_[22] 간행물 Three partition refinement algorithms
_[23] 서적 Discrete Mathematics: An Introduction to Proofs and Combinatorics http://books.google.[...] Cengage Learning
_[24] 서적 A Basis for Theoretical Computer Science Springer-Verlag
_[25] 서적 Understanding Formal Methods http://books.google.[...] Springer
_[26] 서적 Introduction to Topological Manifolds Springer
_[27] 서적 Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors, and Combinatorial Probability http://books.google.[...] Cambridge University Press

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